人教版初中数学八年级下册第十八章 《勾股定理的应用》教学实录
来源:大连理工大学附属学校     作者:郑晓玮     时间:2012-12-19     点击:[]    

人教版初中数学八年级下册第十八章

《勾股定理的应用》教学实录

执教者:大连理工大学附属学校   郑晓玮

教学说明

数学课程标准指出:“数学教学活动中教师要激发学生的学习积极性,向学生提供充分从事数学活动的机会,帮助他们在自主探索和合作交流的过程中真正理解和掌握基本的数学知识和技能、数学思想和方法,获得广泛的数学活动经验。”新课程的核心理念是“一切为了每一位学生的发展”,要求从根本上改变学生的学习方式。变被动学习为主动学习。

本节课的教学内容为勾股定理的应用。是以人教版八年级(上)数学教材为基础设计的。问题情境生成于课堂教学的反思和学生练习时产生的困惑。它不仅是教材原有例题的延伸和拓展,还给学生提供了可探究的素材,突出了实践性、研究性以及应用性。为了提高学生运用勾股定理解决实际问题的能力,在教学过程中,我始终将问题情境呈现给学生,引导学生独立探究、小组合作、小组交流的学习方式解决实际问题。在生生交流、师生探究交流的过程中,产生思维碰撞,在思维的补偿中理解、掌握新知。在学生交流中出现不能解决的问题时,为学生搭建思维的脚手架,引导学生解决问题。在师生纵向交流,生生横向交流的“立体结构”课堂中,教会学生学习。

教学实录:

教师:上课!同学们好!

学生:老师好!

教师:前面我们已经学习了勾股定理,并且利用勾股定理解决了一些简单的实际问题,今天这节课我们将以前面研究过的两道例题为基础进一步探究勾股定理的应用。

(教师板书题目。)

教师:首先,大家一起来回顾例题一,回忆一下,你是如何求出点A与地面距离的?

(教师演示例题一内容。)

学生1:这个问题中,我们知道墙面和地面是互相垂直的,根据勾股定理在直角三角形ABC中,,知道梯子的长度AC和BC的长度,,我们就能求出A点距离地面的高度了。

教师:很好,勾股定理运用的非常熟练。那么大家能不能利用勾股定理解决今天的新问题呢?请大家独立思考并完成。

(教师演示问题,学生独立思考并解决问题,学生2板书过程)

教师:请学生2把解决这个问题的思路讲给大家听一听。

学生2:这个问题是要求AA′的长度,在直角三角形ABC中利用勾股定理,求出,在直角三角形求出,所以

教师:好!板书工整,思路清晰!请回到座位上。

教师:做出0.5米答案的同学请举手?

(个别学生没有举手)

教师:解决这个问题的关键在于明确墙面与地面始终垂直,梯子的滑动的过程当中长度始终不变,滑动前后分别在两个直角三角形中利用勾股定理。大家注意观察,如果线段CC′等于0.6米,你认为线段AA′的长度是多少呢?

部分学生:0.6米。

部分学生:不一定

(小部分学生沉默)

教师:回答是0.6米的同学,你的依据是什么呢?谁来说一下?

(学生举手)

教师:学生3,你来说一说。

学生3:认为梯子下端移动了多少米,上端就下滑了多少米。

教师:哦,他的想法和老师的想法一样,老师的结论是:“梯子水平后移的距离始终等于梯子竖直方向下滑的距离。”

     (教师演示结论)

教师:大家是否也同意这个结论呢?请大家独立思考一分钟,说明这个结论是否正确。

(学生独立思考)

教师:好,现在以小组为单位,探究不同的方法说明这个结论是否正确,五分钟以后,比一比小组的方法最好,哪个小组的方法最多。

(学生以小组为单位交流讨论)

(这一环节的设计,有效地激发了学生自主探究的兴趣。为学生小组合作、交流提供充分的时间和空间,促进学生之间信息的交流与反馈,充分体现了“立体结构”的课堂教学)

教师:请大家坐好,哪个小组先来说说你们讨论的结果?

学生4:我们小组的想法是假设AA′和CC′都是0.6米, A′B的长度为(2-0.6)米,,   ,所以根据勾股定理的逆定理,这就不是一个直角三角形,而我们知道墙与地面始终是互相垂直的,这个三角形一定是直角三角形,所以我们小组认为这两条线段不一定相等.

学生5:我们小组先假设米,通过计算米所以我们也认为这个结论是错误的.

学生6:我们小组是假设米,通过计算发现米,所以我们也认为这个结论是不正确的。

教师:假设的数据不同,但方法和上一个小组是样的,非常好。

学生7:我们小组是设设下端后移了x米,上端下滑了y米,则只有当的时候才能使,所以这两条线段不一定相等。

教师:太棒了, 这个小组给大家总结了一个一般化的式子,来说明这个结论不成立,大家一起给这个非常有创意的方法一些掌声吧!

教师:我们刚才用不同的方法说明了这个结论是不正确的,根据这些方法,大家想一想,如何以最简洁的方式说明一个结论是不正确的?

学生齐声:举一个反例!

教师:没错,以后要说明一个结论是不正确的,我们只须举一反例即可。

(在小组交流的过程中,学生积极发言,思维活跃,方法不同,充分体现出立体课堂中学生思维碰撞及补充。教师在学生交流中适时补充、矫正、点拨、促使学生深化理解,再次凸显立体结构。而教师及时、积极的评价,也激发了学生自我展示的欲望。)

教师:到此,我们对例题一的拓展探究告一段落,下面,大家一起回顾一下例题二。

(教师演示例题2)

教师:回忆一下,你是如何求出蚂蚁爬行的最短距离的?谁来说一说?

学生8:我们是把这个圆柱的侧面展开,发现点A和点C的连线是侧面半个长方形的对角线,在这个直角三角形中,圆柱的高就是条直角边,底面周长的一半就是另一条直角边,利用勾股定理就能求出AC的长度。

教师:把圆柱展开是一个很聪明的方法,那么大家如何来解决这个新的问题呢?

(教师演示活动2内容)

教师:利用手中的模型,独立思考,计算出按照要求一粘贴彩带,至少需要多长呢?

(学生独立思考,动手操作,自主探究)

教师:请大家坐好,谁来说一说自己的想法?

学生9:我还是把圆柱的侧面展开,发现点A和点B的连线是展开的长方形的对角线。

教师:为什么厘米是最短的?

学生齐答:两点之间线段最段.

教师:很好,但是我发现,在礼盒上缠绕一周彩带还是很单调,如果缠绕两周就更好

了,那么大家能不能求出彩带最短的长度呢?大家一起来看要求二.

(教师演示要求二)

教师:请大家以小组为单位,利用手中的模型,探究按照要求二粘贴彩带,如何求出彩

带的最短长度.

(学生以小组为单位交流讨论)

教师:请大家坐好,哪个小组先来汇报你们交流的结果?

(两个学生代表该小组汇报,一个学生演示,一个学生讲解)

(教师引导学生做学习的主人,通过蚂蚁爬行最短距离问题过渡到彩带最短距离问题,让学生再次进行小组探究合作,帮助学生将所学的知识与已有的经验形成连接,为知识的学习提供附着点,形成良好的认知结构,同时又指导了学生掌握有效的学习方法解决实际问题。学生参与积极。)

学生10:我们小组最开始直观感觉当彩带经过圆柱高的中点的时候是最短的,按

这种缠绕方法进行粘贴,然后把这个圆柱展开,发现要求的彩带是两个一样

长方形的对角线,于是我们把侧面又裁成两个小长方形,再把其中一个小长方

形移到这个位置(如图1),再把这个图形补全,彩带的长度就是直角三角形的斜边,就是厘米。然后我们小组的同学又想,为什么这就是彩带的最短长度呢?

         我们就又粘贴了一个不经过中点的彩带,用刚才的方法剪开之后是这样的(如图2),我们再计算出AB的长度,还是厘米,我们就把第一次的AB复制过来,那么,在这个三角形ABC中,两边之和大于第三边,所以我们小组认为是最短的.

(学生掌声响起,教师也鼓掌赞许)

教师:太精彩了!你们小组分析的很到位,不仅计算出最短的长度,还说明了原因,

其他小组呢?你们有什么不同看法?

(两个学生代表该小组汇报,一个学生演示,一个学生汇报)

(学生在小组间积极展示自己的研究成果,教师积极的鼓励和评价使学生获得成功的体验。也激发了小组间的竞争意识,学生研究氛围出现高潮)

学生11:我们小组的想法是,先把这个圆柱分成两个一样的小圆柱,再把他们的侧面分别展开,发现是两个相等的长方形.

教师:注意,是两个相同的长方形.

学生12:发现是两个相同的长方形,要求的彩带是这两个长方形的对角线,其中一个长为,那么两条长为.

教师: 也就是,你们小组的答案和刚才小组的答案是一致的,只是你们是先把圆柱分割之后再展开,而每一个小圆柱上的彩带长度的求法和刚才缠绕一周的做法是完全一样的,你们组也很好.其他组还有别的方法吗?(其他组没有其他方法)那么理解这两种方法的同学请举手?

(学生举手)

教师: 刚才我们把彩带绕礼盒一周、两周时的最短长度求出来了,现在大家思考一下,如果缠绕更多周,你该怎么求出至少需要多长的彩带?大家一起来看这个思考题。

(教师演示思考题内容,学生看题并思考)

教师:大家分小组互相交流解决这个问题.

(学生分小组交流讨论)

教师:请大家坐好,哪个小组来解答这个问题?

学生13:我们小组认为,按照这种方法展开圆柱的时候,绕一周计算的时候直角边是40厘米,绕两周是80厘米,绕三周就是120厘米,四周就是四个底面周长,依次类推,绕n周就是n个底面周长,也就是40n,而直角三角形的高始终是20厘米.所以根据勾固定理彩带长就是厘米.

学生14:我们小组是这样计算的,把侧面分成n个小长方形,每个宽为厘米,长都是40厘米,根据勾固定理计算出彩带长为厘米.

教师:这两个小组的方法是以刚才两组的两种方法为基础,探究出结论的,思路都非常清晰. 我们现在通过实际操作,探究出了解决这个问题的方法,有了这个方法,无论是把彩带缠绕几周,我们都能够求出它的最短长度。

(教师在调动学生积极探究的过程中,做到为学生的思维搭建脚手架,对学生们的不同意见方法适当点拨,引导学生在解决问题中发现解题的规律,促进学生思维的深化)

教师:现在大家一起来回顾这节课的内容,想一想你都有哪些收获?

学生15:通过梯子下滑的问题,我知道了仅仅看到事物的表面还不能盲目的下结论,需要在实践中验证自己的判断。

学生16:我学会了利用举反例的方法。

学生17:我会在实际生活中利用勾股定理解决问题了。

学生18:我知道了在做立体图形题的时候,应该把它的侧面展开。

学生19:我会利用勾股定理已知直角三角形的两边求第三边。

教师:看来这节课大家都收获颇多,那么最后请大家带着你的收获,回到粘贴彩带的问题中来,想一想,如果要在如图所示的正方体和长方体礼盒上粘贴彩带,把彩带一端粘贴在点A处,另一端粘贴在点B处,用什么方法求出至少需要多长的彩带?

      (教师演示课后思考题,学生看题)

(引导学生交流本课的学习收获,促进学生再次反思、总结,形成知识结构。)

教师:好,请大家课后到老师这里拿思考题的题签。

教师:这节课就到这,下课,同学们再见!

学生:老师再见!

教学反思:

课堂教学的立体结构是把单纯的“一师对群生”的点对面的信息传递变为师生之间的、生生之间的、纵横交错的信息传递。在数学探究课上,有价值的探究内容可以激发学生的学习积极性,提高学习的有效性,从而促进“立体结构”的实现。

通过这节课的设计和实践,我对“立体结构”数学课堂的探究性学习有了新的认识。

一、选择适当的探究内容促进“立体结构”的实现

首先,探究内容的选择要有基础性,即所选课题内容应以教材为基础,是生成于课堂教学的实践当中的,是来源于学生在课堂或者课后练习当中产生的困惑,是为了解决问题而探究,而不是为了探究的形式而探究。

其次,即所选课题内容对提高学生的理解能力和创造性思维能力具有重要的价值,如数学中的开放性问题、探索性问题、实际应用问题等;

第三,问题是科学思维的起点,探究性学习过程就是发现问题和解决问题的过程,因此在内容的选择上要坚持问题化原则,以问题为中心组织教学。

第四,要坚持以学生为主的原则,即所创设的问题情境必须来自学生生活实际或社会生活实际,适合学生的年龄特点和能力水平。

二、“立体结构”首要体现在小组学习之中。

我认为遵循“组内异质,组间同质”的原则组建学习小组比较好,这有利于优势互补,相互促进,组与组间尽量保持相对平衡,有利于形成各组之间的“公平竞争”,组内成员要分工明确,努力做到人人有事做。另外,不是什么内容都是需要交流的,否则交流就会失去意义。因此教师要合理选择交流的时机。在实际教学活动中,我注意把握“四个机会”组织学生交流:一是学生个人探索遇到困难的时候;二是学生意见不一致的时候;三是解答开放性问题的时候;四是涉及教学难点的时候。

三、不足之处:

第一,独立思考是小组合作的前提,只有小组合作建立在学生独立思考的基础上,才能使小组合作更有效,因此建议小组合作前要给学生充分的独立思考时间;第二,在探究活动三中的小组合作后应给予学生充分的交流展示的时间与空间,让学生揭示自己的思考方法、思维过程,使所有参与探究的学生对问题都能理解掌握,使探究活动更有时效性。

点评:

冷冉先生提出:只有“立体结构”才能组织和引导学生进行有效的学习活动,并且,它有利于教会学生自觉的、主动的学习。郑晓伟老师的这堂课就充分体现了“立体结构”课堂教学的特点。特别值得学习之处是:其一,课堂教学中,始终坚持把学生作为课堂学习的主人。本课探究的问题来自于学生在学习过程中提出的问题,教师将搜集整理学生所提的问题,作为课堂探究的学习问题,这本身就是对学生自主学习,独立思考进行的肯定和鼓励。同时,在本课教学中,让学生经历观察、操作、探究、合作交流、得出结论的过程,进一步体会把立体图形转化成平面图形、把曲面问题转化成平面问题的转化思想,理解这种解题方法,体验数学的探索性和创造性。特别是对问题“把彩带绕礼盒表面2周,如何求出彩带的最短长度”,注意引导学生思考以缠绕半周、一周为基础继续深入,并能够尝试利用实践经验——“把图形展开后再研究”的方法来解决问题。从而课堂上便出现了多种解决问题的方法。这个过程便是教会学生学生学会提出问题,解决问题的方式方法。其二,充分发挥小组合作的作用,在实践探究的整个过程中,始终以组内讨论,组外交流的形式探究问题的结论,凡是问题,一人发言,本组或其他组的同学纷纷补充、纠正,或作简要评论,这便是“立体结构”的连锁反应。学生在一次次的小组交流中理解知识,掌握方法,形成能力。在一次次的小组汇报中体会成功的体验。而教师则适时点拨,对学生及时采取适当的积极评价和引导,激发了学生的学习兴趣和探究的欲望,提高了学生的自我效能感。我认为,这就是“立体结构”课堂教学的价值所在。

李桂玲