人教版初中数学第三册第15章 《因式分解(3)公式法——完全平方公式》教学实录
来源:大连理工大学附属学校     作者:戴艳     时间:2011-03-20     点击:[]    

人教版初中数学第三册第15章

《因式分解(3)公式法——完全平方公式》教学实录

执教者:大连市理工大学附属学校   戴艳

教学说明:

教师是学习活动的引导者和组织者,学生是课堂学习的主人。教师在教学中要充分体现教师的导向作用,不代替学生学习,而是教会学生学习。本节课的因式分解是第十五章的最后一节,前面讲授了整式乘法公式,所以这一节的教学目标就是利用二者互逆关系得出公式,使学生能够正确应用公式进行因式分解。本节内容对后面学习分式及一元二次方程、二次函数都起到了铺垫作用。为达成这一目标,在课堂上,我注重引导学生探究发现公式特点,充分运用小组合作总结规律方法,让学生经历知识的形成与应用的过程。同时尊重学生的个体差异,选择适合自己的学习方式,鼓励学生猜想并且运用基本方法进行相关的验证,指导学生注重数学知识之间的联系,提高学生解决问题的能力。

教学实录:

师:我们已经学习了乘法完全平方公式,请一位同学用文字语言来描述一下这个公式的内容?

生1:(答略)

师:你能用符号语言来表示这个公式吗?

生1:

师:不错,请坐。由此我们可以看出完全平方公式其实包含几个公式?

生齐答:两个。

师:接下来请大家完成学案的第一部分的两道填空题?

生2:(答略)

师:你能否告诉大家,你是根据什么来进行填空的吗?

生2:根据完全平方公式,将等号右边的展开。

师:很好。(将四个式子分别标上①②③④)

问题:①、②两个式子由左往右是什么过程?

③、④两个式子由左往右是什么过程?

生3:整式乘法,因式分解

师:刚才的①和②是我们以前学过的完全平方公式,那么将这两个公式反过来就有:

(板书)

问题:这两个式子由左到右的过程又是什么呢?

生齐答:因式分解。

师:可以看出,我们已将左边多项式写成完全平方的形式,即将左边的多项式分解因式了。

这两个公式我们也将它们称之为完全平方公式,也是我们今天来共同学习的知识(板书课题)

师:既然这两个是公式,那么我们以后遇到形如这种类型的多项式可以直接运用这个公式进行分解。这个公式到底有哪些特征呢?请同学们仔细观察思考一下,小组可以讨论一下,将讨论结果记录在学案上。 (经过讨论之后)

(引导学生将自己的想法在小组内进行讨论交流,培养学生在自主探究中获得新知的能力,分析组织信息的能力和合作交流的能力。)

师:哪个小组派代表汇报本组讨论结果?

生4:左边是三项,右边是完全平方的形式。

生5(同组):左边有两项能够写成平方和的形式。

师:说得很好,其他小组有没有补充的?

生6:还有一项是两个数的乘积的2倍。

师:这“两个数的乘积”中“两个数”是不是任意的?

生6:不是,而是刚才两项的底数。

师:刚才三位同学都回答得不错,每人都找出了一些特征。再请一位同学来综合一下。

生7:左边的多项式要有三项,有两项是平方和的形式,还有一项是这两个数的积的2倍。右边是两个数的和或差的平方。

教师在学生回答的基础上总结:

1)多项式是三项式

2)有两项都为正且能够写成平方的形式

3)另一项是刚才写成平方项两底数乘积的2倍,但这一项可以是正,也可以是负

4)等号右边为两平方项底数和或差的平方。

(通过学生自主阅读,小组讨论后 ,在全班进行第二次交流。学生在交流中互相补充,激发出思维的火花。教师进行适时引导,将错误的矫正,将零乱的系统,呈现出师生之间的纵向交流,学生之间的横向交流。)

师:我们如何将符号语言转化为文字语言呢?

生8:a、b两个数的平方和加上a、b乘积的2倍,等于a与b的和的平方;

a、b两个数的平方和减去a、b乘积的2倍,等于a与b的差的平方。

师:如果不用字母a、b,又怎么表达?能否将两句合并成一句呢?

生9:两个数的平方和加上或减去这两个数的乘积的2倍,等于这两个数的和或差的平方。

师:非常好!我们以后只要遇到这种类型的多项式可以直接利用完全平方公式方便地进行因式分解了。

(在推导公式的过程中,引导学生经历探究、发现、总结等活动方式促使学生获得知识,促进对知识的理解和掌握。同时,教师积极的鼓励和评价,也激发了学生自主学习的积极性)

通过刚才的学习,我们已经初步掌握了利用完全平方公式分解因式的有关知识,下面完成学案的第三部分:

判断下列各式是不是完全平方式,并说出理由。

(1) (2) (3)

(4) (5) (6)

师:请同学发表自己意见。

生10:第一、六题是完全平方式。有三项,其中有两项正且能写成平方的形式,另一项是减去这两个数的积的2倍。

生11:第二、三、四题都不是完全平方式,因为中间一项不是两个数的乘积的2倍。

生12:第五题是完全平方式。三项,有两项能写成平方的形式,另一项也是两个数的积的2倍。

师:其它同学同意他们的意见吗?有没有补充的?

生13:我认为第五题不是完全平方式,虽然有两部分能写成平方的形式,但这两项不是平方和。

师:同意他的意见吗?

生齐答:同意。

师:因此我们在观察一个多项式是否符合完全平方式的特点时,不仅要找有没有两项能够写成平方的形式,同时还要看这两项的符号是否同为正,更要看另一项是不是这两数的积的2倍。像刚才的第2题和第3、4题都只满足特征中的一部分。

师:请大家试探究学案第四部分

将下列各式分解因式:1、 2、

(学生独立探究)

师:哪位同学能将自己的想法与大家分享一下?

生14:将9改写成,6x正好是x与3的乘积的2倍,利用完全平方公式可得(学生回答,教师板书)

生15:将看成,25写成,20x写成2×2x×5,利用完全平方公式可得

板书:

(联系字母表达式用箭头对应表示,加深学生印象。)

师:由刚才的例子,我们同学能否发现将因式分解为两数的和或差的平方,如何确定是两数的和还是两数的差的平方呢?

生16:由符号来决定。

师:能不能具体点。

生16:由中间一项的符号决定,就是两个数乘积2倍这项的符号决定,是正,就是两个数的和;是负,就是两个数的差。

师:同学们的分析非常好。总之,在分解完全平方式时,要根据第二项的符号来选择运用哪一个完全平方公式。

(对于公式的应用,让学生再次进行实践,探究,交流,加深对知识的理解。在生生交流、师生交流的过程中,激发了学生表现欲,增强了成就感。)

师:完成学案第五部分,例题1:把25x4+10x2+1分解因式。(让一名学生到前面板演)

(此学生17板演,过程略)

师:请大家一起帮他检查一下,过程是否正确?

生齐判断:正确

师:请大家接着看例题2:把分解因式。

师:按照常规我们首先怎么办?

生齐答:提取负号。〔教师板书:〕以下过程学生板演。

师:如果是这道题:4xy-x²-4y² 怎么分解呢?(教师改变刚才题型)

提示:从项的特征进行考虑,怎样转化比较合理?四人小组讨论。

   (小组交流,教师巡视。在小组交流合作中,同学们各抒己见,发表自己不同的看法,这样培养学生表达与分享信息的能力,促进每个学生主动参与、积极探究、交流合作。)

生18:同样还是将负号提取改变成完全平方式的形式。

师:从这里你们发现了什么?

生19:我可以发现,只要三项式中能改写成平方的两项是同号,且另一项为两底数积的2倍,我们都能利用这个公式分解,若这两项同为正则可直接分解,若同为负则先提取负号再分解。

(每个小组的代表说出自己小组的想法,这样通过组内的交流到全班的交流,达到了信息的立体传递,加深对知识的理解和掌握。)

练习题:学案第六部分第1题,学生板演,教师巡视、批改,第2题,学生口答。

例题3:把分解因式。

师:先观察,再选择适当的方法。(一名学生板演,其他学生点评)

练习:学案第六部分第3题分两组学生板演,学生评讲,教师适当提示注意点。

师:这一堂课我们一起研究了完全平方式的有关知识,同学们先自查一下自己的收获,然后请同学发表自己的见解。(学生小声讨论)

生20:我学到了如何将完全平方式分解因式,遇到三项式中有两项符号相同且能化成平方的形式,另一项为这两个数的积的2倍的形式,如果能化成平方项是负的,首先将负号提取再分解。第二项是正的就是两数的和的平方,第二项是负的就是两数差的平方。

生21:有公因式可提取的先提取公因式,然后再分解,同时根据第二项的符号来选用合适的公式。

(课堂小结不仅是对知识的回顾,同时也是能力的提升,将知识系统化,规律化,让学生真正的学会学习。)

随堂检测(略)

教师布置课后作业 (略)

教学反思:

回顾这节课的教学,自己觉得很兴奋。虽然这只是一节数与式的计算,很难激发学生的兴奋点。但在课堂教学中,我本着把课堂还给了学生,让学生做学习的主人的思想,采用自主探索、启发引导、合作交流展开教学。引导学生主动地进行观察、猜测、验证和交流,让不同层次的学生都能主动参与并都能得到充分的发展。边启发,边探索,边归纳,边反思,整个学习过程中,让学生充分思考、充分交流,在一次次的小组交流中理解知识,掌握方法,形成能力,学会学习。在一次次的小组汇报中体会成功的体验,提高学生的自我效能感。在教学过程中,我注重引导学生对公式的理解和运用,强调过程和格式,扎实训练,达到了预期的教学效果。但是,在整个教学活动中也存在着一些不足的地方,从时间安排来看,由于放手让学生自主探究,故推导公式的时间用得稍微多了点,以致于后面觉得时间紧,设计的教学内容没能完成。后期学生活动有所减少,收尾太草率,在今后的教学中应把会发生的各种问题考虑周全。

点评

这是一堂“朴实”而又“精彩”的数学课。“朴实”是因为这是一节常态课,课堂中没有刻意的去创设情境,没有搞什么花样子,没有添加任何修饰,而顺利达成教学目标。“精彩”是因为戴艳老师采用了“立体结构”的教学方式,在情知教学的课堂中,建立一种和谐的师生关系,最大限度的给学生表现的机会,让学生活跃起来,使课堂变得灵动,使学生生活在令人振奋的思维王国里。其一,戴艳老师注重引导学生主动地进行观察、猜测、验证和交流,经历学习新知的全过程,让学生在自主学习的氛围中阅读、探究、问答、争辩、做题、展示。因式分解所采用的完全平方公式的推导是由学生自己推导的,公式的特点是由学生自己归纳的,公式的运用是由学生自己相互交流,推广和使用。充分体现以学生为主体,把整个课堂还给了学生,让学生成为学习的主人,而教师就是一个组织者、引领者和评价者。其二,充分发挥小组合作,同伴互助的作用,让每个学生都能参与到学习交流之中,给每位同学充分展示的机会。在小组交流中,尊重学生的个体差异,为每位学生提供展示自己舞台。其三,教师在引导学生学习的同时,适时点拨,及时鼓励和评价,激发了学生学习的欲望,调动了学生学习的积极性和主动性。真正体现了冷老的“以最好的情绪和态度,最好的方法,掌握知识,发展能力,即教会学生学习”的教学思想。

李桂玲

 

人教版初中数学九年级上册第24章

《直线和圆的位置关系》教学实录

执教者:大连市理工大学附属学校   刘宏

 

教学说明:

立体结构”的课堂是一种新型的学习阵地,与传统的课堂相比,它不再局限于传统的单向和双向活动,打破了原有的“单一、平面、线性”的模式,强调教学是一种多边活动,提倡“主动参与、乐于探究、交流合作”,提倡师生、生生、师师等诸多动态因素间的多元互动,是学生获取知识,形成技能的非线性交互的开放通道。圆的教学在平面几何中乃至整个中学教学中都占有重要的地位。圆的有关性质被广泛应用于工农业生产,交通运输等方面,而本课的教学内容直线和圆的位置关系的应用也比较广泛,它体现了运动的观点,又是在学习了点和圆的位置关系的基础上的,为后面的圆和圆的位置关系做铺垫的一节,在今后的解题及证明中将起到重要的作用。因此,在本课的教学过程中,教师重在引导学生通过独立阅读、思考、实践、探究、交流,在小组内交流、小组之间交流过程中,激发学生探究兴趣,提高学生的自我效能感,促使学生积极、主动地获取知识,形成技能。

教学实录

师:前面我们曾学习过与圆有关的知识,请同学们思考,点和圆的位置关系有几种?是哪几种?

生:三种,点在圆上,点在圆外,点在圆内。

师:如何判定点和圆的位置关系呢? 

生:点到圆心的距离等于半径时,点在圆上;点到圆心的距离大于半径时,点在圆外;点到圆心的距离小于半径时,点在圆内。

师:我们在地球上观看太阳的时候,给我们以圆的形象,当太阳从地平线上缓缓升起的瞬间,会使我们感受到一种蓬勃的生机和奋进的力量,下面,就让我们大家共同欣赏一幅海上日出。(演示)

如果把海平线看作是一条直线,把太阳的边缘看作是一个圆的话,(配合语言,边说边演示)那么这个实际问题就转化为这节课我们要研究的数学问题了——直线和圆的位置关系。(板书:直线和圆的位置关系)

(用学生能够体会到的生活情境作为引入本课的例子,易于激发学生的学习兴趣。设置如此简明的问题情境,符合学生的认知水平,易于达到在已有知识的基础上探究新知的目的。同时引导学生关注生活,培养学生用数学的意识。)

师:直线和圆到底有怎样的位置关系呢?让我们大家再来观察一遍。(再次连续演示)

通过刚才的观察,请同学们思考并画出图形,直线和圆的几种位置关系。(学生动手画图)

(通过学生自主探究,培养学生独立分析问题的能力和动手能力)

(教师板书:一、直线和圆的位置关系。)

师:图形画好的同学请小组交流一下,并试着给直线和圆的不同位置关系起个名称。

(学生在小组内交流,促进学生从不同的角度进行探讨交流,互相补充,自觉获得知识,培养学生合作意识和传递信息的能力)

师:谁想把自己的图形给大家展示一下。

(通过实物投影把每个小组的图形展示给学生们看) 

师:直线和圆的位置关系分了几种情况呢?

生:三种。

师:下面说一说大家给这三种情况起的名称吧。

谁来说一说第一种情况的名称?

生:直线和圆相交。

师:不错。(边说边板书:1、相交)

那么什么叫直线和圆相交呢?谁来给归纳一下。

生:当直线和圆有两个公共点时叫做直线和圆相交。

师:归纳得不错,说一说第二种情况的名称?

生:直线和圆相切。

师:不错,(板书:2、相切)

那么什么叫做直线和圆相切呢?

生甲:当直线和圆有一个公共点时叫做直线和圆相切。

生乙:当直线和圆有唯一公共点时叫做直线和圆相切。(生乙抢答)

师:你的回答和他的回答有什么区别吗?

生:我用了“唯一”两个字。

师:你为什么用了“唯一”两个字呢?

生乙:因为“唯一”是“有一个并且只有一个”。当我们学“过三点的圆”时,“过不在同一直线上的三点确定一个圆”。“确定”就是“有一个并且只有一个”的意思。

师:嗯,注意到知识之间的联系,并且思维非常严谨,敢于发表自己不同的见解,值得我们大家学习,掌声鼓励。(掌声)

    (对于学生不同的见解及时给予表扬,从而激发了学生学习的热情,增强自我效能感。同时也带动了其他学生的积极性,促使学生的思维更加活跃,思考更加主动。)

师:谁来给第三种情况起个名?

生:相离。(板书:3、相离)

师:什么叫直线和圆相离呢?

生:当直线和圆没有公共点时叫做直线和圆相离。

师:很好!

(转换实物投影为电脑演示)

 

当直线和圆相交时,这条直线叫做割线,这两个公共点叫做交点。

当直线和圆相切时,这条直线叫做切线,唯一的公共点叫做切点。

当直线和圆相离时,没有公共点。

(电脑逐步演示)

师:由此,我们由公共点的个数可以判断直线和圆的位置关系,反过来,由直线和圆的位置关系可以判断公共点的个数。

    (出示表格如下,学生口答)

 

师:当我们学习点和圆的位置关系时,我们把这种位置关系和某种数量关系之间形成了一种相互转化,那么,现在我们研究的直线和圆的位置关系是否也可以与某种数量关系进行一种相互转化呢?请同学们带着这个问题,结合你的图形,小组交流交流你的想法。

    (小组交流,教师巡视。在小组交流合作中,同学们各抒己见,发表自己不同的看法,这样使每个学生都有说话的机会,都有交流的空间,都有展示自己的平台,每个学生都做到了主动参与、乐于探究、交流合作。)

师:下面请小组派代表说说你们小组的想法?

(每个小组的代表说出自己小组的想法,这样,通过组内的交流到全班的交流,达到了信息的立体传递,形成立体课堂。)

生:数量关系是“直线到圆心的距离与圆的半径”之间的大小关系。

师:“直线到圆心的距离”你认为这句话说得怎么样?(追问)

生:应该是“圆心到直线的距离”

师:要注意几何语言的规范性。

(通过追问的方法及时纠错,这不仅是师生之间的交流,而且也是生生之间的交流,不仅使学生的印象深刻,而且也培养了学生学习的严谨性。)

请你到前面来,结合你的图形给大家解释解释。

(学生通过实物投影展示图形并解释)

生:(图形略)当直线和圆相交时,圆心到直线的距离小于半径。

     当直线和圆相切时,圆心到直线的距离等于半径。

     当直线和圆相离时,圆心到直线的距离大于半径。

师:有不同的意见吗?(无声)

     如果把圆的半径记作r,把圆心到直线的距离记作d的话,

     当直线和圆相离时,d        r

     当直线和圆相切时,d        r

     当直线和圆相交时,d        r

     (边问边板书)

     由此,我们由直线和圆的位置关系可以得到相应的数量关系,这就是直线和圆位置关系的性质。(板书)

    那么能不能由这种数量关系得到相应的位置关系呢?

    (学生小组交流,总结结论)

    这就是直线和圆位置关系的判定。(板书)

师:请大家完成下面的练习。

练习二:填空

    已知:圆的直径为12cm

    1、如果圆心到直线的距离为5.5cm,那么直线和圆______,有_____个公共点。

    2、如果圆心到直线的距离为6cm,  那么直线和圆______,有_____个公共点。

    3、如果圆心到直线的距离为8cm,  那么直线和圆______,有_____个公共点。

(学生口答,提问后进学生,考查他们对新知掌握的程度,同时也可以增加后进学生的成就感。)

例题:在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=3cm,BC=4cm,以C为圆心,r为半径的圆与AB有怎样的位置关系?为什么?

    (1) r=2cm

    (2) r=2.4cm

    (3) r=3cm

(独立思考后小组交流解决问题,然后小组代表讲解思路,学生评价,并板演)

练习三:

    如图∠AOB=30°,M为OB上一点,且OM=5cm,以M为圆心、以r为半径的圆与直线OA有怎样的位置关系?为什么?
    (1)r=2cm
    (2)r=4cm
    (3)r=2.5cm

(学生独立完成,并组内互评后,小组派代表讲解)

练习四:
   已知△ABC中,∠C=90 °CD ⊥AB于D,AD=2,BD=1,以点C为圆心,1. 4为半径画圆,则⊙C与直线AB有怎样的位置关系?为什么?

(独立完成,代表讲解,补充完善)

师:通过本节课的学习,你收获了什么?请谈一谈。

生:1、直线和圆的位置关系有三种,相交、相切、相离。

2、由公共点的个数可以知道直线和圆的位置关系,由直线和圆的位置关系可以知道公共点的个数。

3、直线和圆位置关系的性质的判定。

4、位置关系和数量关系的相互转化,说明了数和形的结合。

5、实际问题可以转化为数学问题。(学生各抒己见)

(引导学生对本课内容进行总结、反思,通过学生的交流,便于学生掌握教学内容的重、难点,将所学的知识系统化,并使新知识、好方法牢固注入学生的认知结构中,形成良好的认知结构,获得能够灵活解决实际问题的能力。)

课堂检测:(略)

师:作业(略)

教学反思:

本节课最大的成功之处是我让学生真正成为了课堂学习的主人,教会学生学习。在教学中我注意把学生个人自学、小组讨论、全班交流、教师点拨等有机地结合起来,基本达到了信息传递的立体化。在小组讨论、全班交流中,学生的主体作用在一定程度上得到了发挥,组内成员之间的合作,小组之间的合作、竞争,以及教师及时的鼓励和评价,激发了学生学习的热情,挖掘了学生学习的潜能,提高了学生的自我效能感,使学生在思维的碰撞交融中共同提高。在整节课教学过程中,虽然学生的主体地位、教师的主导作用得到了较好的展示,但还不够,比如,课堂提问的面儿还不够大,某些学生没有得到充分的展示,课堂问题的设置还不够发散,没有完全放开,在某种程度上束缚了学生的思维,立体结构的课堂应在教师的组织协调下,学生自主学习,多维发展,应依靠学生个体的自主实践活动得以形成素养并获得发展,应关注人性、关注创新、关注效率,是一种系统的教学策略,它呼唤学生个性的飞扬,呼唤学生学习的天堂。

点评:

“立体结构”的课堂教学,其目的就是以最好的情绪和态度,运用最好的方法掌握知识发展能力,即教会学生学习。

刘宏老师的这节课可以说非常成功。本课的教学设计突是以“探究过程,探究方法,探究结果,运用结果”为主线,因此在探究直线和圆的位置关系过程中,利用点和圆的位置关系的学习方式,引导学生主动参与、亲自操作,实践探究,合作交流,让学生从中去体验学习知识形成的全过程,从而理解新知,掌握利用知识解决问题的方法。同时也培养学生的自主学习能力和创新意识。更突出的是刘宏老师尊重学生的个体差异,尽可能给每个同学提供广泛参与和表现自我的机会。对优等生,在他们解决自己的问题之后,帮助同组同学解决问题,既帮助了别人,又可以发挥创造性,提升自己。对所谓的学困生来说,让他们在与同桌和其他同学的交流中,在对发言进行讨论、评价、补充、纠正的纵横交叉的信息传递中,既能得到别人的帮助,又有自己提问题发表意见的机会,不仅为学困生扫清认知障碍,又通过教师的调控给他们树立一定的努力目标,使他们获得成功。正是因为实施立体结构,不仅有利于提高全体学生的认知水平,也促进了学生认知心理和情性心理的全面发展,这便是冷老所倡导的教学思想。

李桂玲